Physikalische Grundlagen

Für eine detailliertere Einführung in die physikalischen Grundlagen des Lichts empfehlen wir die Seite von Bartosz Ciechanowski. Für diese Einheit werden wir jedoch ein einfaches Strahlenmodell annehmen.

Wir nehmen die Welt um uns darüber wahr, wie Licht mit ihr interagiert. Wir können Objekte nur sehen, wenn sie mit Licht in Kontakt kommen und dieses entweder in Richtung Betrachter*in zurückwerfen (Reflexion), durchlassen (Transmission) oder verschlucken (Absorption). Diese Erscheinungen nehmen Einfluss darauf, wie hell oder dunkel ein Objekt wahrgenommen wird, und bewirken dadurch Schattierung und Schattenwurf. Damit bilden sie auch die Grundlage für unser Beleuchtungsmodell.

Alle Bestandteile dieses Modells sind im folgenden beispielhaft illustriert.

Weitere Phänomene, die bei der Interaktion von Licht mit Objekten einer Szene auftreten können, sind z.B. Lichtbeugung und -brechung sowie Interferenzerscheinungen -- diese spielen jedoch in den Lichtausbreitungsmodellen der Computergrafik in der Regel eine untergeordnete Rolle. Den Hauptfaktor bildet die Reflexion.

Im Folgenden werden wir die Intuition hinter den Hauptbestandteilen des Phong-Beleuchtungsmodells erarbeiten.

Reflexion

Wie bereits erwähnt unterscheiden wir zwischen diffuser und spekularer Reflexion, die zusammen unser (sehr simples) Beleuchtungsmodell bilden. Welche physikalischen Grundlagen bzw. welche Modellannahmen stecken dahinter?

Diffuse Reflexion

Als diffuse Reflexion wird der Effekt bezeichnet, dass Flächen heller wirken, je mehr sie dem Licht zugewandt sind. Sie ist vollständig unabhängig vom Betrachtungswinkel und nur von Oberflächenausrichtung und Lichtposition bzw. Lichtrichtung abhängig.

Es steht die Modellannahme dahinter, dass das auf die Oberfläche auftreffende Licht gleichmäßig in alle Richtungen reflektiert wird. Dieses Phänomen ist stärker, je rauer die Oberfläche ist.

Diffuse Reflexion - modelliertes Verhalten

Physikalisch lässt sich dieses Phänomen damit begründen, dass raue Flächen viele kleine Unebenheiten beinhalten. Wir können uns die Wirkung einer Lichtquelle als viele dicht nebeneinanderliegende Lichtstrahlen vorstellen. Treffen diese auf die Fläche, werden sie in praktisch zufällige Richtungen reflektiert. Durch dieses Verhalten der einzelnen Lichtstrahlen wird das Licht insgesamt annähernd gleichmäßig (isotrop) in alle verschiedenen Richtungen reflektiert.

Reflexion an Unebenheiten in der Oberfläche

Wie viel Licht genau in Abhängigkeit vom Lichteinfallswinkel reflektiert wird, lässt sich mithilfe des Lambertschen Gesetzes berechnen. Dieses besagt, dass die reflektierte Lichtmenge, also die Lichtintensität $I$, proportional zum Kosinus des Winkels zwischen der Einfallsrichtung des Lichtes und der Flächennormale ist. Dafür verwenden wir die technische Lichtrichtung $\tilde{L}$, die von der Oberfläche zur Lichtquelle verläuft (statt von der Lichtquelle zur Oberfläche), um korrekt mithilfe des Skalarprodukts den eingeschlossenen Winkel berechnen zu können.

Lambertsches Gesetz

Dieser Zusammenhang lässt sich auch aus folgender Überlegung über das Strahlenmodell herleiten. Wir können uns das Licht als ein Bündel paralleler Lichtstrahlen mit gleichem Abstand vorstellen. Je größer der Winkel der Lichtstrahlen zur Flächennormale ist, umso größer ist der Abstand, mit dem die Lichtstrahlen auf der Oberfläche aufkommen. Die gleiche Fläche wird also bei einem größeren Winkel von weniger Lichtstrahlen getroffen.

Mit dieser Intuition können wir nun auch die Abhängigkeit vom Skalarprodukt zwischen Lichtrichtung und Normale erklären:

Je größer der Abstand $d$ der auftreffenden Lichtstrahlen auf der Oberfläche ist, umso schwächer ist die reflektierte Lichtintensität. Dadurch gilt

$$I\sim \frac{1}{d}.$$

Diesen Abstand $d$ wiederum können wir in Abhängigkeit des Winkels zwischen Oberflächennormale und (technischer) Lichtrichtung beschreiben. Dafür können wir wie in der obigen Skizze eingezeichnet die Zusammenhänge am rechtwinkligen Dreieck nutzen und erhalten

$$\cos(\alpha) = \frac{k}{d}.$$

Dabei bezeichnet $k$ den konstanten kürzesten Abstand der Lichtstrahlen zueinander. Aus dieser Gleichung können wir

$$d = \frac{k}{\cos(\alpha)}$$

ableiten, wodurch wir den Zusammenhang $d\sim \frac{1}{\cos(\alpha)}$ und damit $I\sim \cos(\alpha)$ erhalten. Dieser Kosinus lässt sich mithilfe des Skalarprodukts beschreiben, womit wir den gesuchten Zusammenhang

$$I\sim\langle N, \tilde{L}\rangle$$

erhalten.

Damit können wir also die Abhängigkeit der diffusen Reflexion von sowohl der Oberflächenbeschaffenheit als auch von der Lichtrichtung begründen.

Spekulare Reflexion

Spekulare Reflexion -- modelliertes Verhalten

Im Gegensatz zur Diffusen Reflexion ist die Spekulare Reflexion (auch spiegelnde Reflexion oder Spiegellicht) nicht nur von der Oberflächenbeschaffenheit und Lichtrichtung, sondern auch der Blickrichtung abhängig.

Hier ist die Modellannahme, dass sich das Licht (im Gegensatz zur gleichmäßigen diffusen Reflexion) ungleichmäßig und besonders konzentriert in eine Richtung $R$ spiegelt. Daraus ergibt sich auch die Abhängigkeit von der Blickrichtung: Der Punkt erscheint umso heller, je ähnlicher Blick- und Spiegelrichtung sind.

Spekulare Reflexion ist stärker auf sehr glatten (z.B. polierten) Oberflächen. Die Oberflächenbeschaffenheit bestimmt dabei sowohl, wie stark die spekulare Reflexion ist, als auch wie schnell die Helligkeit mit zunehmender Abweichung zwischen Blick- und Spiegelrichtung abnimmt.

Spekulare Reflexion

Sei $\alpha$ der Winkel zwischen Blick-und Reflexionsrichtung. Dann ist in dem hier betrachteten Modell die Intensität der Spekularen Reflexion proportional zu $cos^n \alpha$, wobei $n$ materialspezifisch ist.

Berechnung der Spiegelrichtung

Die Spiegelrichtung $R$ liegt in einer Ebene mit $\tilde{L}$ und $N$. Außerdem ist der Winkel zwischen $\tilde{L}$ und $N$ identisch zu dem Winkel zwischen $N$ und $R$. Mit diesen Informationen können wir eine Berechnungformel für die Spiegelrichtung herleiten:

Sei $P$ die auf die Normale $N$ projizierte Lichtrichtung $\tilde{L}$. Dann entspricht der Vektor $S$ aus der folgenden Darstellung der Differenz aus $P$ und $\tilde{L}$.

$$S = -\tilde{L} + P = P - \tilde{L}$$

Wie auch in der Abbildung gut erkennbar ist, entspricht der Reflexionsvektor $R$ der Summe aus der technischen Lichtrichtung $\tilde{L}$ und zwei Mal $S$.

$$R = \tilde{L} + 2\cdot S$$

Damit gilt

$$R = \tilde{L} + 2\cdot (P-\tilde{L}) = 2\cdot P - \tilde{L}.$$

Der Vektor $P$ lässt sich wiederum durch Projektion von $\tilde{L}$ auf $N$ bestimmen. Den Kosinus von Theta können wir dabei mit dem Skalarprodukt aus $N$ und $\tilde{L}$ bestimmen.

$$P = N\cdot \cos \theta = N \cdot \langle N, \tilde{L}\rangle$$

Wir erhalten also als Formel für die Reflexionsrichtung

$$R = 2\cdot(N\cdot\langle N, \tilde{L}\rangle) - \tilde{L}$$

Implementierungsaspekte

Diese Überlegungen bilden die Theorie hinter grundlegenden Beleuchtungstechniken. Für die Implementierung sind noch weitere Aspekte zu beachten, die wir im folgenden beleuchten wollen.

Farben

Bisher war lediglich von Lichtintensitäten die Rede – doch wenn wir Objekte nicht nur in Graustufen darstellen wollen, benötigen wir eine Möglichkeit um aus Licht- und Objektfarbe sowie Intensitätsinformationen die resultierende sichtbare Farbe zu bestimmen. Klassischerweise werden die Lichtintensität, die Objektfarbe und die Lichtfarbe durch Multiplikation zur resultierenden Gesamtfarbe kombiniert.

Half Vector

Die bisherige Berechnung der spekularen Reflexion im Phong-Beleuchtungsmodell ist vergleichsweise intuitiv, da direkt der Zusammenhang zwischen dem Winkel zwischen Reflexions- und Blickrichtung klar ist. Sie besitzt jedoch zum einen den Nachteil, dass sie relativ komplexe Berechnungen benötigt - allein um den Reflexionswinkel zu bestimmen, müssen zwei Skalarprodukte berechnet werden. Zum anderen weichen die Ergebnisse teils noch von realitätsgetreuen Bildern ab.

Eine Technik, die diese Probleme adressiert, ist Blinn-Phong-Beleuchtung. Hier wird die spekulare Beleuchtung anders berechet: Statt jedes Mal den Reflexionsvektor zu bestimmen, um anschließend den Winkel zur Blickrichtung zu berechnen, wird stattdessen ein sogenannter Half-Vector $H$ verwendet. Dieser liegt bei der Hälfte zwischen technischer Lichtrichtung $\tilde{L}$ und Blickrichtung $V$ und kann dementsprechend mit

$$H = \dfrac{\tilde{L}+V}{2}$$

bestimmt werden. Statt für $\alpha$ in der Spekularitätsberechnung den Winkel zwischen dem Reflexionsvektor und der Blickrichtung zu verwenden, wird für Blinn-Phong-Beleuchtung der Winkel zwischen Half-Vector und der Oberflächennormale genutzt.

In der folgenden Demo wird visualisiert, wie für verschiedene Licht- und Blickrichtungen in beiden Varianten der entsprechende Winkel und die daraus resultierende Helligkeit aussehen.

Es ist zu erkennen, dass der Winkel bei Blinn-Phong immer halb so groß ist wie im Phong-Modell. Wer möchte, kann diesen Zusammenhang gerne für sich als Übung beweisen.

Die folgende Demo zeigt den Unterschied zwischen Phong-Beleuchtung und Blinn-Phong-Beleuchtung am Beispiel einer von drei verschiedenen Lichtquellen beleuchteten Kugel. Mit dem Slider kann zwischen Phong (links) und Blinn-Phong (rechts) gewechselt werden. Zu beachten ist, dass bei Blinn-Phong ein höherer Spekularitäts-Exponent verwendet wurde, um die Ergebnisse anzugleichen.

Ausblick

Mit diesen Überlegungen haben wir die Grundlagen des Phong-Beleuchtungsmodells hergeleitet. Dieses ist verhältnismäßig eingeschränkt und in den Ergebnissen kaum realistisch, weshalb es heutzutage auch im Real-Time-Rendering größtenteils von anderen Modellen abgelöst wurde. Viele davon basieren auf der Idee von Physically Based Rendering (PBR). Dieses hat zum Ziel, Beleuchtung basierend auf realweltlichen Oberflächeneigenschaften (z.B. metalness oder roughness) möglichst realistisch zu modellieren.

Die Ideen des Phong-Beleuchtungsmodells sind aber auch in den moderneren Ansätzen wiederzufinden -- damit bietet es einen guten Einstieg, um grundlegende Konzepte von Echtzeit-Beleuchtungsmodellen zu verstehen.